Cours Analyse 1 M. VALLET

Ce cours représente 4 ECTS pour 20h de cours et 20h de TD. Son évaluation est en contrôle continu.

Son programme, qui s'inspire fortement du cours téléchargeable en ligne http://exo7.emath.fr/cours/livre-analyse-1.pdf, est :

2. Propriétés fondamentales de  $\mathbb{R}$ :
    (a) valeur absolue, résolution d’inégalités mettant en jeu la valeur absolue, inégalité triangulaire.
    (b) majorant, minorant, maximun, minimum, borne supérieure et inférieure, intervalle, segment.
    (c) Théorème de la borne inférieure (admis).

3. Suites réelles
    (a) Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, formules $\sum_{i=1}^n r^i$, $\sum_{i=1}^n i$
    (b)  Suites bornées, monotones, croissantes, décroissantes,
    (c)  Limite des suites réelles
               i. Définition, suites convergentes, divergentes, suite tendant vers $\pm \infty$, unicité de la limite, convergente implique bornée, rappel croissances comparées
               ii. opérations algébriques, compatibilité avec la relation d’ordre
        iii. Théorèmes d’existence de la limite : encadrement, croissante et majorée, suites adjacentes

4. Fonctions réelles de la variable réelle
    (a) Ensemble de définition, parité, imparité, croissance, décroissance, monotonie
    (b) Limite en un point,
        i. Unicité de la limite, limite à droite et à gauche, extension en $\pm \infty$
        ii. Théorème d’existence de limite : toute fonction monotone sur $]a,b[$ admet des limites à droite et à gauche en tout point intérieur, discussion en $a$ et $b$
    (c) Continuité :
            i. Définition séquentielle, prolongement par continuité, continuité par morceaux
        ii. Théorème des valeurs intermédiaires, l’image par une fonction continues d’un intervalle, (segment) est un intervalle (segment)
            iii. Extrema : intervalles ouverts et segment
    (d) Dérivabilité :
        i. Définition, dérivées à droite et à gauche, linéarité, dérivée d’un produit, d’une composée
        ii. Rappels : calculs de dérivées des fonctions usuelles, lien signe de la dérivée et sens de variations, tableau de variation
        iii. Extrema : condition d’ordre 1 y compris aux bornes d’un segment
        iv. Théorème des accroissements finis et inégalité des accroissements finis
        v. Dérivées successives, formule de Leibniz, la dérivée d’ordre $n+1$ d’un polynôme de degré $n$ est nulle.
    (e) Les fonctions usuelles : logarithme, puissances et exponentielle, fonction circulaires et hyperboliques, et leurs réciproques.