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Présentation générale du cours

Jacky Cresson

Le cours explore la notion de variable aléatoire et la manière de caractériser ces dernières. Il suppose une connaissance de la théorie de la mesure et de l'intégration.

Variables aléatoires et espaces probabilisés

En pratique, les quantités que nous observons ou mesurons sont des variables aléatoires (pour le moment indépendantes du temps) comme par exemple la variation de la taille d'une roue ou de certaines caractéristiques d'une pièce dans une chaîne de fabrication. On modélise ces mesures par la notion mathématique de variable aléatoire qui suppose un espace probabilisé sous-jacent qui la plupart du temps est inaccessible à l'analyse sauf dans des situations idéalisées. Cet espace probabilisé est donc nécessaire à la modélisation mathématique de la quantité observée.

La notion de densité de probabilité ou comment contourner une description explicite de l'espace probabilisé

Pour dire quelque chose sur cette variable aléatoire il est nécessaire de calculer certaines quantités d'intérêts comme la probabilité que cette variable soit comprise entre telle et telle valeur ou déterminer des paramètres caractéristiques comme la moyenne et la fluctuation de la variable à cette moyenne contenue dans la variance. Or ces quantités font appel à la probabilité définie sur l'espace probabilisé sur lequel nous avons peu ou pas d'informations. Il est néanmoins possible dans certains cas de contourner cette difficulté: les variables aléatoires à densité ont la particularité que la probabilité associée à la variable s'exprime en fonction d'une fonction qui elle sera a priori accessible car elle permet de ramener des calculs se déroulant sur l'espace probabilisé à des calculs intégraux sur l'espace réel (ou R^n de manière générale).

Les variables aléatoires Gaussienne comme modèle de fluctuations universel

La modélisation de la variable aléatoire passe alors par le choix d'une densité représentant l'aléa de la variable aléatoire. Plusieurs densités sont étudiées et classifiées suivant certaines caractéristique de la variable comme la fluctuation par rapport à la moyenne ou autre. L'une d'elle s'appelle la fonction Gaussienne qui caractérise des aléas dont les fluctuations par rapport à la moyenne se répartissent suivant la courbe en cloche de Gauss. On parle alors de variables aléatoires Gaussiennes. Les hypothèses conduisant à une variable aléatoire Gaussienne sont faibles: si cette fluctuation provient d'un ensemble de petites variations équidistribuées autour de 0 alors le théorème central limite nous dit que la variable représentant la somme de ces variations correctement pondérée suivra une loi Gaussienne. En absence d'informations précises sur les fluctuations, on considère donc souvent que celles-ci peuvent se représenter par une variable aléatoire Gaussienne.

Prendre en compte une information partielle ou la notion d'espérance conditionnelle

Quelquefois il est difficile d'avoir beaucoup d'informations sur la variable que l'on observe et on a accès à une quantité partielle d'informations. Dans ce cas, une question naturelle est de savoir ce que nous pouvons reconstruire de la variable à partir de ces observations partielles.  Un exemple de ce type de problème est donné par la construction de l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire par rapport à une autre  ou à une tribu.  Ces quantités seront souvent les seules accessibles à partir des mesures.

Plan du cours

Le cours va donc formaliser chacun des points ci-dessus et sera constitué de trois chapitres qui porteront essentiellement sur la définition des objets et la manipulation de ces derniers. Un point important, qui ne sera pas abordé dans ce cours, concerne le calcul explicite en fonction des données des quantités que nous aurons définies. C'est un travail difficile qu'il conviendra d'explorer ensuite.

Les trois grands chapitres du cours sont donc:

1- La notion de variable aléatoire

2- Variables aléatoires Gaussiennes

3- Espérance conditionnelle

Les cours seront déposés progressivement ainsi que les TDs.

Bon courage à tous.

Jacky Cresson