La géophysique, mais aussi la géologie ou bien la géographie, font appel à un nombre considérable de notions mathématiques. On peut citer par exemple:
- pour la géophysique, la notion de champ de vecteurs, celle de flux à travers une surface
- pour la géologie, les notions d'arrangements, de pavages, de symétries
- pour la géographie, celle de systèmes de coordonnées adaptées
Cette liste n'est évidemment pas exhaustive.
Dans ce cours, nous allons nous concentrer sur tout ce qui permet d'analyser la fluctuation de quantités qui dépendent à la fois du temps et de l'espace. On peut penser aux courants marins, aux vents dans l'atmosphère, à la modification de la topographie d'un lieu.
On commencera donc par discuter la notion de vecteurs dans le plan et l'espace. C'est l'objet le plus fondamental dans la plupart des descriptions que l'on fait en physique. Malgré les apparences, cette notion apparaît très tard dans l'univers des mathématiques et de la physique. On l'a souvent oublié, mais la notion de vecteurs n'existe pas à l'époque de Newton qui pourtant va développer sa fameuse théorie de la gravitation. La formalisation des vecteurs sera du au mathématicien Hamilton dans les années 1800.
Ayant en main cette notion de vecteurs, on peut parler de champ de vecteurs qui a renouvelé la façon d'écrire la physique. Cette notion de champ, indique qu'il existe un vecteur en chacun des points d'un plan, d'une surface ou même d'un volume. On trouvera dans le livre de Einstein et Infeld "L'évolution des idées en Physique" une histoire de l'arrivée de la notion de champ en physique. Je vous conseille au passage cette lecture. Ces champs vont décrire dans beaucoup de cas l'évolution de la vitesse de déplacement de particules ou de volumes infinitésimaux au cours du temps. On va donc les retrouver partout de la météorologie, à l'océanographie, la géophysique, etc.
Comme nous l'avons dit ci-dessus, ces champs de vecteurs sont souvent des champs de vitesses ou parfois vivent sur des surfaces. Pour décrire ces objets, on a besoin de parler de fonctions de plusieurs variables. Ici on se limitera à deux ou trois variables, mais toute la théorie pourra se faire en dimension quelconque. Ces fonctions représentent par exemple la température à la surface du globe, le niveau d'élévation de l'océan, etc. Comment rendre compte de la variation de ces quantités ? On généralise les outils rencontré pour les fonctions d'une variables. La dérivée va donner naissance aux dérivées partielles et à différents opérateurs comme le laplacien, la divergence ou le gradient qui tous interviendront pour décrire les processus physiques. Chacune de ces notions fera l'objet d'une étude détaillée.
On aura aussi besoin d'un calcul intégral adapté à ces fonctions. Ces intégrales permettront de calculer des moyennes de quantités sur des domaines mais aussi de résoudre certaines équations de la physique. On parlera d'intégrales multiples (double ou triple) mais aussi des intégrales curviligne qui permettent de donner un sens à l'intégrale d'une quantité le long d'une courbe. Le point essentiel est que le calcul explicite de ces intégrales se ramène souvent à une suite d'intégrales simples classiques. Cela ne veut pas dire que ce sera plus facile. La recherche de primitives pour le calcul d'une intégrale est difficile. On rappellera à l'occasion les deux techniques que nous utiliserons: l'intégration par parties et le changement de variables.
Tout ce qui précède sera fait dans un premier temps dans le cadre d'un système de coordonnées cartésiennes. Malheureusement, beaucoup de problèmes se formulent mieux dans d'autres systèmes de coordonnées comme les coordonnées polaires ou sphériques. Nous passerons donc un moment à étudier ces systèmes de coordonnées et le lien qu'ils ont entre eux.
Un polycopié de cours est donné contenant la liste des TD. Il est en cours de construction. Il sera complété au cours du temps.
Bon courage à tous.
Jacky Cresson
Avril 2025, Pau
