An Analytically Solvable Core-Periphery model
by Rickard Forslid and Gianmarco Ottaviano

Pour réaliser un modèle théorique, il faut partir d' un modèle de base. Il faut repérer les équations principales, dans le modèle de forslid et ottaviano les salaires sont essentiels pour expliquer les migrations. Nous allons donc partir de l'équation 14. Dans cette équation les revenus Y dpéendent des salaires, on commence donc par évaluer cette expression

Y1=(h1*w1+L/2);
Y2=(h2*w2+L/2);

on évalue ensuite 14 sous la forme suivante pour pouvoir résoudre un système (pour simplifier l'écriture nous notons b=(μ/σ))

(Subscript[eq, 1])[w1,w2]:=w1-b*((Y1/(h1+ϕ*h2))+ϕ*(Y2/(ϕ*h1+h2)));

puis son symétrique dans le pays 2 (non donné par les auteurs)

(Subscript[eq, 2])[w1,w2]:=w2-b*(ϕ*(Y1/(h1+ϕ*h2))+(Y2/(ϕ*h1+h2)));

nous avons donc un système à deux équations et deux inconnus facilement résolvable, qui nous donne l'equation 16 (on ne la reconnait pas facilement car elle est arrangée différemment)

eqns={(Subscript[eq, 1])[w1,w2]==0,(Subscript[eq, 2])[w1,w2]==0};
Simplify[Solve[eqns,{w1,w2}]]

le rapport des deux nous donne le salaire relatif, cad l'equation 17 des auteurs

h2=1-h1;
w1=-((b L (2 h1 ϕ+h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2)))))/(2 (-1+b) ((h1^2) ϕ+(h2^2) ϕ+h1 h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2))))));
w2=-((b L (2 h2 ϕ+h1 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2)))))/(2 (-1+b) ((h1^2) ϕ+(h2^2) ϕ+h1 h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2))))));
Simplify[w1/w2]

Deux forces s'opposent dans ce salaire relatif, d'un coté plus il y aura de travailleurs dans une région plus la demande de bien y sera forte (market access) mais plus la concurrence sera forte (market crowding effect aussi nommé local competition effect). Pour savoir pour quel degre d'ouverture ϕ l'un des deux effets dominent, les auteurs dérivent le salaire relatif par rapport à h et résolvent pour ϕ.

c=(∂_h1)(((1-h1 (((-1+ϕ))^2)+(ϕ^2)-b (-1+h1) (-1+(ϕ^2)))/(2 ϕ+h1 (-1+ϕ) (-1+b+ϕ+b ϕ))));
Solve[c==0,ϕ]

La troisième racine est celle obtenu par les auteurs (puisque b=(μ/σ)). Après ce point de libéralisation la force d'agglomération market access domine la force de dispersion.
Ceci est un résultat intermédiaire car pour comprendre les migrations il ne faut pas regarder seulement les salaires nominaux mais les salaires réels, ou plus exactement de l'utilité indirecte qui représente le bien etre dans les deux régions

En partant des utilités indirectes, les auteurs se demandent jusqu'à quel niveau d'ouverture la dispersion est stable. pour répondre à cette question ils dérivent le différentiel d'utilité indirecte pour une situation de dispersion h1=1/2. Ici nous dérivons le rapport des utilités indirecte (ce qui revient au même comme nous l'avons vu en cours)

h1=.;ϕ=.;
w1=-((b L (2 h1 ϕ+h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2)))))/(2 (-1+b) ((h1^2) ϕ+(h2^2) ϕ+h1 h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2))))));
w2=-((b L (2 h2 ϕ+h1 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2)))))/(2 (-1+b) ((h1^2) ϕ+(h2^2) ϕ+h1 h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2))))));
break=(∂_h1)(((w1/(((h1+ϕ*h2))^(μ/(1-σ)))))/((w2/(((ϕ*h1+h2))^(μ/(1-σ))))));
h1=1/2;
Simplify[break];
Simplify[Solve[break==0,ϕ]]

La deuxième racine est celle obtenu par les auteurs à l'eq 26. Donc entre 0 et ce point de libéralisation la dispersion est stable. Par contre après ce point l'agglomération peut dominer, les auteurs analysent donc ensuite le sustain point qui est le point pour lequel l'agglomération est stable. 
Dans ce qui suit on compute le salaire réel dans les deux régions pour faire des simulations

h2=1-h1;b=μ/σ;
w1=-((b L (2 h1 ϕ+h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2)))))/(2 (-1+b) ((h1^2) ϕ+(h2^2) ϕ+h1 h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2))))));
w2=-((b L (2 h2 ϕ+h1 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2)))))/(2 (-1+b) ((h1^2) ϕ+(h2^2) ϕ+h1 h2 (1+(ϕ^2)+b (-1+(ϕ^2))))));
realwage=((w1/(((h1+ϕ*h2))^(μ/(1-σ)))))/((w2/(((ϕ*h1+h2))^(μ/(1-σ)))));
Simplify[realwage]

Manipulate[Plot[{-(((((1+h1 (-1+ϕ)))^(μ/(1-σ))) (((h1+ϕ-h1 ϕ))^(μ/(-1+σ))) (σ (-1+h1 (((-1+ϕ))^2)-(ϕ^2))+(-1+h1) μ (-1+(ϕ^2))))/(2 σ ϕ+h1 (-1+ϕ) (σ (-1+ϕ)+μ (1+ϕ)))),1},{h1,0,1}],{ϕ,0.1,0.99},{σ,3,10},{μ,0.4,1}]

A SIMPLE, ANALYTICALLY SOLVABLE, CHAMBERLINIAN AGGLOMERATION MODEL
by Michael Pfluger

Le modèle de Pfluger est tres simple, les migrations sont guidés par les salaires obtenus après avoir égalisé l'offre et la demande, on recopie l'équation 8, que l'on évalue

R1=(((α(L1+K1))/(K1+ϕ*K2))+((ϕ*α(L2+K2))/(ϕ*K1+K2)))/σ;
R2=(((ϕ*α(L1+K1))/(K1+ϕ*K2))+((α(L2+K2))/(ϕ*K1+K2)))/σ;

On utilise nesuite cette expression avec l'indice des prix pour obtenir le différentiel d'utilité obtenu par l'auteur à l'équation 9

K1=λ;K2=1-λ;
p1=(((K1+ϕ*K2))^(1-σ));
p2=(((ϕ*K1+K2))^(1-σ));
R1=(((α(L1+K1))/(K1+ϕ*K2))+((ϕ*α(L2+K2))/(ϕ*K1+K2)))/σ;
R2=(((ϕ*α(L1+K1))/(K1+ϕ*K2))+((α(L2+K2))/(ϕ*K1+K2)))/σ;
Ω=(α*Log[p2/p1])+R1-R2;
Simplify[Ω]

Il n'est pas facile de reconnaitre l'équation 9, mais qq simu vont nous permettre de vérifier ces résultat, en insérant le résultat précédent dans un plot on va obtenir la Figure 1 de l'auteur, qui est au coeur de ses conclusions et de toute la NEG

Manipulate[Plot[{α (-(((-1+ϕ) (L1 (1+λ (-1+ϕ))+(-1+2 λ) ϕ+L2 (-λ-ϕ+λ ϕ)))/(σ (λ (((-1+ϕ))^2)-(λ^2) (((-1+ϕ))^2)+ϕ)))+Log[(((1+λ (-1+ϕ)))^(1-σ)) (((λ+ϕ-λ ϕ))^(-1+σ))])},{λ,0,1}],{ϕ,0.43,0.5},{σ,1.1,10},{L1,1,10},{L2,1,10},{α,0.3,10}]

On part de la dispersion et à mesure que ϕ augmente il y a agglomération, c'est ele résultat central de ce modele mais aussi de krugman (1991) et forslid et ottaviano (2003)